Площадь поверхности шара формула через радиус, объем полой сферы

Сфера и шар. Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).

Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.

Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).

Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .

Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

Читать еще:  Мантра для здоровья исцеляющая мантра

Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.

Сфера и шар. Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).

Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.

Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).

Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .

Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

Читать еще:  Базовый гардероб для женщины 50 лет – советы стилистов как выглядеть стильно после 50

Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.

Калькулятор площади поверхности шара

Шар — это геометрическое тело, которое состоит из совокупности точек пространства, равноудаленных от заданной точки. Так же шар — это тело, ограниченное сферической поверхностью. Это идеальная, космическая фигура, так как звезды и планеты имеют именно шарообразную форму.

Шар и сфера

Термин «сфера» происходит от греческого слова «сфайра», которое в переводе означает «мяч». Сфера — это поверхность, которая состоит из бесконечного множества точек, равноудаленных от центра. Расстояние, на которое удалены точки, называется радиусом сферы. Шар — это «кусок» пространства, ограниченный сферической поверхностью. Центр и радиус сферы совпадают с центром и радиусом шара. По сути, сфера — это частный случай эллипсоида, у которого полуоси равны.

Шар — идеальная геометрическая фигура, которая имеет наименьшую площадь поверхности и наибольший объем среди всех поверхностей, ограничивающих заданный объем. Благодаря этому свойству шарообразные тела часто встречаются в природе, к примеру, капли воды при падении принимают форму сферы именно в результате минимизации площади поверхности. Кроме того, сферическую форму имеют звезды, планеты, метеоры и другие космические объекты, а также ягоды и кроны некоторых видов деревьев.

Площадь поверхности шара

Сфера — это поверхность вращения, которая образуется путем вращения полуокружности вокруг диаметра. В отличие от боковой поверхности конических и цилиндрических фигур, сферу невозможно развернуть на плоскости, поэтому для определения площади поверхности шара нельзя использовать метод развертки. Для вычисления площади сферической поверхности используется понятие описанного многогранника c количеством граней, равным n.

Для начала опишем вокруг сферы произвольный n-гранник, каждая грань которого касается сферической поверхности. Соединим центр шара с каждой вершиной многогранника и разобьем его таким образом на n-ное количество пирамид. Объем каждой пирамиды Vp выражается как одна треть от произведения площади ее основания Sp на высоту, которая в данном случае является радиусом сферы.

Читать еще:  Чем болеет дочь лолиты милявской?

Объем n-гранника Vg таким образом определяется как сумма объемов составляющих его пирамид.

Vg = 1/3 (S1 + S2 + … + Sn) × R

Теперь увеличим количество граней многогранника до бесконечности. В этом случае многогранник превратится в шар, и мы получим зависимость:

где Vs – объем шара, а Ss – площадь сферической поверхности.

Зная, что объем шара определяется как Vs = 4/3 pi × R 3 , мы можем определить плоскость поверхности шара как:

Если мы заменим радиус шара на его диаметр, то формула станет еще проще:

Для определения площади поверхности шара используйте наш онлайн-калькулятор. Вам понадобится ввести только один параметр для расчета: радиус или диаметр сферы. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из жизни

Футбольный мяч

Допустим, вы работаете на фабрике по производству футбольных мячей и вам необходимо узнать, сколько синтетической кожи уходит на пошив одного мяча. Зная, что стандартный футбольный мяч имеет длину окружности, равную 70 см, вы можете определить площадь поверхности сферы. Длина окружностиl и радиус R связаны по известной формуле, следовательно, радиус футбольного мяча равен

R = l/2 pi = 11,1 см

Теперь вам необходимо ввести рассчитанный радиус в форму онлайн-калькулятора, и вы получите ответ в виде:

Таким образом, для обивки одного стандартного мяча потребуется 1548 квадратных сантиметров синтетической кожи.

Земля

Наша планета имеет форму слегка сплюснутой у полюсов сферы, однако это не мешает вам определить приблизительную площадь поверхности по стандартной формуле. Согласно данным из Википедии, средний радиус Земли составляет 6371 км. Используя эти данные, вы получите результат:

Ss = 510 064 471

Если бы Земля была идеальной сферой, то площадь ее поверхности составляла бы 510 064 471 квадратных километров. Википедия же говорит, что из-за рельефа поверхности площадь планеты составляет 510 072 000 квадратных километров, что ненамного превышает полученный результат.

Заключение

Шар не сильно распространен в реальной жизни, поэтому для бытовых задач вам вряд ли потребуется определять площадь поверхности идеальных сфер. Однако для абстрактных заданий, в производстве и науке широко используются сферические поверхности и шары, поэтому для определения объемов и площадей вам пригодится наш каталог онлайн-калькуляторов. При помощи удобных инструментов вы рассчитаете необходимые параметры мгновенно и без ошибок.

Источники:

http://www.resolventa.ru/uslugi/pricegiabib.htm
http://www.resolventa.ru/uslugi/pricegiabib.htm
http://bbf.ru/calculators/154/

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector